有限元法是以變分法或者加權(quán)剩余法為基礎(chǔ)，結(jié)合分塊逼近技術(shù)，形成系統(tǒng)化的數(shù)值計(jì)算方法。有限元把求解區(qū)域離散化，即求解的區(qū)域劃分成互相聯(lián)結(jié)又互不重疊的一定形狀的有限子個(gè)子區(qū)域，這些子區(qū)域稱為“單元”和“有限元”，在單元中選擇插值函數(shù)，對(duì)各個(gè)單元進(jìn)行分析，建立單元有限元方程，匯總成總體有限元方程，進(jìn)而求解。

有限元的插值函數(shù)由單元的形狀和要求逼近的階數(shù)所確定。一般的計(jì)算區(qū)域可以是一維、二維或者是三維的。單元形狀有一維單元即直線單元，對(duì)應(yīng)有一維線性插值函數(shù)，一維二次插值函數(shù)和拉格朗日插值函數(shù)：二維包括三角形單元、矩形單元和任意四邊形單元，對(duì)應(yīng)有三角形單元插值函數(shù)，矩形單元插值函數(shù)，埃爾米特插值多項(xiàng)式，其中矩形單元插值函數(shù)又可分為：矩形單元線形插值，矩形單元的二次插值和等參元。四邊形單元；三維包括有四個(gè)頂點(diǎn)的四面體單元和八個(gè)頂點(diǎn)的八面體單元，對(duì)應(yīng)有四面體單元的插值函數(shù)和矩形六面體單元的插值函數(shù)ⅢJ，針對(duì)不同的單元可以選擇不同的插值函數(shù)。

單元方程的建立有兩種方法，一是里茲方法的求解公式，另一個(gè)是伽遼金方法的求解公式，利用上述兩種方法的任一種，寫出單元方程。然后，將單元方程對(duì)所有單元求和，得到方程組，這個(gè)過(guò)程叫組合。最后，應(yīng)用邊界條件求得方程組的最終形式。

其中，關(guān)于邊界條件在2．3．2節(jié)中已經(jīng)詳細(xì)介紹，這里主要說(shuō)明的是，在電抗器電磁場(chǎng)的求解中，有兩種邊界條件經(jīng)常用到，一是狄利克雷邊界條件，它給出了邊界處的中值；另一類是齊次諾曼邊界條件，它要求邊界處①的法向?qū)?shù)為零。第一類邊界條件是必要邊界條件，它必須顯示地強(qiáng)加在計(jì)算中；第二類邊界條件通常在求解過(guò)程中隱含的自動(dòng)滿足。正是這種原因，第二類邊界條件通常稱為自然邊界條件。

下面以一維有限元法為例介紹有限元法的基本原理。如圖2．1所示為一無(wú)限大平板電容器，該電容器的兩極板間充有P=F的自由電荷，并假設(shè)極板都接在電壓為“的電源上，極板距離為2d。很明顯，電容器的激勵(lì)和幾何形狀都對(duì)稱于Y軸，使電勢(shì)在對(duì)稱軸上沿x方向變化率為零，于是這種對(duì)稱結(jié)構(gòu)可用齊次諾依曼邊界條件來(lái)表示。則這個(gè)平行板電容器靜電場(chǎng)的微分方程為

這里聲實(shí)際上僅為工的一元函數(shù)，第一個(gè)方程右邊為·1是因?yàn)榧?lì)電荷密度p=￡的結(jié)果。

下面結(jié)合上述平行板電容器的一維靜電場(chǎng)求解問(wèn)題詳細(xì)介紹有限元法。有限元法求解的第一步是劃分單元，即把整體區(qū)域劃分成若干小區(qū)域(或單元)。這里把(O，d)區(qū)間分割成五個(gè)單元，分別記作e．、e，、e，、e。、e；。劃分過(guò)程中1、2、和3單元較小，也就是說(shuō)在這個(gè)區(qū)域內(nèi)單元較密，這也體現(xiàn)了單元疏密適當(dāng)?shù)乃枷搿?

通常劃分的區(qū)域越多，則解的精度越高，當(dāng)然計(jì)算量也就越大，計(jì)算時(shí)間越長(zhǎng)。劃分單元的大小可以不同，視具體情況而定，如場(chǎng)分布比較密， 那么采用較小的單元以更多的單元?jiǎng)澐置艿膮^(qū)域。劃分后的區(qū)域由不同尺寸的四個(gè)單元和五個(gè)節(jié)點(diǎn)表示，如圖2．2所示。每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的電勢(shì)分別記作死、≯：、九、≯。和九。而每個(gè)單元由相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)所限定，單元中的值采用單元節(jié)點(diǎn)值進(jìn)行線性插值得到。

介于節(jié)點(diǎn)f和i+1之間單元上的勢(shì)函數(shù)礦。由節(jié)點(diǎn)i和i+1上的勢(shì)函數(shù)≯，和≯。及相應(yīng)的形函數(shù)妒，和≯。所表達(dá)，如式2．25所示。形函數(shù)在微分方程求解的變分法和加權(quán)余數(shù)法中稱為嘗試函數(shù)，在有限元法中它主要體現(xiàn)了插值函數(shù)的形狀。

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